Estudió primero en Plasencia, bajo la dirección del maestro de capilla Rondini, sucesor de Francesco Maria Bazzani; sus primeras óperas fueron representadas, con las que hizo una demostración de su talento teatral, luego perfeccionado en la escuela de Nápoles como alumno de Francesco Durante y Leonardo Leo. Fue en la escuela napolitana donde adquirió su estilo compositivo para la ópera bufa, género en el que fue más apreciado. La estancia napolitana es confirmada por un primer grupo de óperas representadas en los escenarios de teatros napolitanos, testimonio del rico trabajo que acompañó el proceso de Ciampi, activo, además de Nápoles, Palermo, Venecia y Londres. En Nápoles hizo representar, con tan sólo dieciocho años, su primera ópera cómica "Da un ordine nasce un disordine" (libreto de G. A. Federico, teatro dei Fiorentini, otoño 1737) que fue seguido también por un libreto de Federico "La Beatrice" (teatro Nuovo sobre Toledo, carnaval 1740) y "La Lionara" (teatro dei Fiorentini, invierno 1742, en colaboración con Nicola Logroscino), luego "La Flaminia" (libreto anónimo, teatro Nuovo sobre Toledo, primavera 1743); "Arminio" (libreto de A. Salvi, idem, otoño 1744); "L'amor ingegnoso" (libreto de A. Palomba, teatro dei Fiorentini, otoño 1745). Entre 1746 y 1747 trabajó en Palermo como clavecinista. En 1747 se trasladó a Venecia, donde se desempeñó como maestro di cappella en el Ospedale degli Incurabili.

Edición discográfica de obras de Vincenzo Legrenzio Ciampi

Según Anguissola, en 1746 habría hecho representar en el Teatro Ducal de Piacenza "L'Arcadia in Brenta", melodrama cómico sobre texto de Carlo Goldoni; sin embargo, no hay pruebas fiables que permitan atribuir con certeza a Ciampi la autoría de la obra, cuyo libreto, puesto en música también por Baldassare Galuppi, fue puesta en escena en Venecia en mayo de 1749. En Piacenza fue representada, siempre según Anguissola, "Bertoldo , Bertoldino e Cacasenno", libreto de Carlo Goldoni, Teatro Ducal, 1747; representada luego en el Teatro Giustiniani de San Moisés de Venecia el 26 de diciembre de 1748, también con música de Galuppi (que según el Groves sería la primera representación históricamente exacta); la ópera, posteriormente modificada y reducida a intermezzo en dos partes, y representada en 1753 en la Ópera de París con el título "Bertholde à la Cour", luego fue representada con éxito en el Teatro Haymarket de Londres en 1751-52 en el carnaval, en el Teatro Nuevo de Buenos Aires, en Brunswick y en muchos teatros italianos. Rápidamente se hizo conocida con el título de "Bertoldo in corte", e inspiró a Ch. S. Favart para su "Ninette a la Cour" (París, 1755) y  a J. A. Hiller para "Löttchen am Hofe" (Leipzig, 1767), ejerciendo una influencia considerable sobre la evolución de la ópera bufa en la comedia musical francesa y alemana.

Frontispicio del libreto de la ópera "Arsinoe" de Vincenzo Legrenzio Ciampi - 1758

En la temporada de carnaval 1747-1748 Ciampi hizo representar en el Teatro Tron de San Casciano de Venecia "Adriano in Siria" (libreto de Pietro Metastasio), luego replicada en 1750 en el Teatro Haymarket en Londres, donde el compositor se había ido desde 1748 con una compañía de cantantes italianos contratados por el empresario Croza, y  donde permaneció hasta 1756. Después de una breve estancia en Bruselas, regresó a Venecia donde reasumió su puesto en los Incurabili en 1760. Allí murió de apoplejía durante los ensayos para la representación de su última ópera, “Antígona”.

Además de las óperas, compuso una gran cantidad de música de cámara, en su mayoría escritas entre 1751 y 1756 en Londres, la que fue discretamente valorada. Sin embargo, el campo en que tuvo más éxito fue la ópera bufa. Entre sus obras más notables se recuerda la ópera “Bertoldo alla corte”, representada en París el 12 de noviembre de 1754, que fue bien recibida por la audiencia y la ópera "Gli tre cicisbei ridicoli”, representada en Londres el 14 de marzo de 1749, que contiene la famosísima aria “Tre giorni son che Nina”, que durante más de un siglo fue erróneamente atribuida a Giovanni Battista Pergolesi, N. Resta, Rinaldo di Capua, así como al propio Ciampi, dando lugar a una compleja cuestión de atribución de la que se han ocupado repetidamente musicólogos italianos y extranjeros. Se dice incluso que esta aria probablemente fue añadida a su ópera “Gli tre cicisbei ridicoli” por otra mano.

Sobre su actividad de compositor las noticias son a menudo inciertas y controvertidas, en parte porque a menudo se lo confunde con el contemporáneo Francesco Ciampi, también llamado florentino o napolitano, a quien se atribuyen óperas de Ciampi, como lo demuestra un documento que se encuentra en la Biblioteca Marciana de Venecia relativo a la atribución incorrecta de las obras a los dos Ciampi. Su estilo de composición está a medio camino entre el barroco y el galante. También publicó sonatas y conciertos.